Gama fonksiyonu ve ${e}$ sayısı için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
$${\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt}$$
$${e^{-t}=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(1-\frac{t}{n}\bigg)^n}$$
Gama fonksiyonunda ${e^{-t}}$ yerine yukarıda verdiğimiz eşitliği kullanalım.
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^n t^{s-1}\bigg(1-\frac{t}{n}\bigg)^ndt}$$
Sadeleştirmeler yapalım.
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^n t^{s-1}\bigg(\frac{t-n}{n}\bigg)^ndt}$$
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\int_0^n t^{s-1}\big(n-t\big)^ndt}$$
${(n-t)^n=u}$ ve ${t^{s-1}=dv}$ olacak şekilde kısmi integral alalım.
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\frac{n}{s}\int_0^n t^s\big(n-t\big)^{n-1}dt}$$
Aynı şekilde toplamda ${n}$ kadar kısmi integral alalım.
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{s(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n-1)}\int_0^n t^{s+n-1}dt}$$
İntegrali alalım , sadeleştirelim ve ayrı ayrı ifadeler halinde yazalım.
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^n}n^{s+n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{s(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{s}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...1}{(s+1)(s+2)(s+3)...(s+n)}}$$
$${\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{s}\bigg(\frac{1}{s+1}\bigg)\bigg(\frac{2}{s+2}\bigg)\bigg(\frac{3}{s+3}\bigg)\bigg(\frac{4}{s+4}\bigg)...\bigg(\frac{n}{s+n}\bigg)}$$
Daha kolay anlaşılması için her iki tarafın çarpımsal tersini alalım:
$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}sn^{-s}(s+1)\bigg(1+\frac{s}{2}\bigg)\bigg(1+\frac{s}{3}\bigg)...\bigg(1+\frac{s}{n}\bigg)}$$
İfadeyi sonsuz çarpım olarak yazalım.
$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}sn^{-s}\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)}$$
Çarpım sembolünden önce ifadeye ${e^{s(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n})}}$ ve çarpım sembolünden sonra da ifadeye ${e^{-\frac{s}{k}}}$ ekleyelim.
$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}sn^{-s}e^{s(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n})}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)e^{{-\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$
${n^{-s}}$ ifadesini de ${e}$ üzerine alalım.
$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}se^{s(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}...+\frac{1}{n}-\ln(n))}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)e^{{-\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$
Euler-mascheroni sabitinin tanımı şöyledir :
$${\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$$
İfademizi buna göre düzenleyelim.
$${\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim\limits_{n\to\infty}se^{s\gamma}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)e^{{-\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$
Şimdi her iki tarafın çarpımsal tersini alalım:
$${\large\Gamma(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{e^{-s\gamma}}{s}\Bigg[\prod_{k=1}^n\bigg(1+\frac{s}{k}\bigg)^{-1}e^{{\frac{s}{k}}}\Bigg]}$$