${\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$ ifadesinin yakınsak olduğunu ispatlayın

Question

$${\large\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$$

İfadesinin yakınsak olduğunu ispatlayın.

Comments

ayoub'unan introduction to the analytic theory of numbers adlı kitabın 43. sayfasında ispatı varmış.

---

euler sabiti imiş ismide

---

İsmi euler-mascheroni sabiti olarak geçiyor.

İspatı bazı sitelerde var ama anlamıyorum :) Türkçe olarak birisi açıklasa güzel olur.

---

ben o kitaptakini çevirip yazarım yazan olmazsa :)

---

Tamam hocam , teşekkürler :)

Answer 1

İlk gözlemimiz : $\ln{n}<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}<\ln{n}+1$

Kanıt : $\frac{1}{x}$'in grafiğinde genişliği $1$ olan sütunların alanları toplamına bakarak kolaylıkla gösterilebilir.

İkincisi de şu olsun : $a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln{n}$ azalan bir dizidir.

Kanıt : $a_n-a_{n+1}=\ln{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}$ ki bu da tüm $n>0$ için pozitif.

Bundan sonrası gayet kolay : 

$a_n>0$ ilk gözlemden dolayı. Ayrıca azalan, demek ki yakınsıyor.

Umarım bir hata yoktur :)

Comments

Hocam ilginiz için teşekkür ederim :) .

Diziye azalan bir dizi demişsiniz , doğru.Ama her azalan dizi yakınsak mıdır ?

---

Sorunuz için ben teşekkür ederim :) Hayır elbette, her azalan dizi yakınsak değildir ($a_n=-n$ mesela). Ama eğer azalan ve alttan sınırlıysa (her zaman $0$'dan büyük olduğunu söyledik) yakınsak olmak zorundadır. 

---

$\ln(n+1)$ olacak herhalde ilk bastaki..

---

Hayır hocam, öyle değil diye hatırlıyorum. $(\ln{n})+1$ olmalı.

---

$\ln n +1$ olmali zaten de, onu oyle sutunlardan gorebiliyor muyuz? itegral gibi dusunsek arada $\ln$ yanlarda $\frac 1n$ toplamlari olmali gibi.

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Integral_test

---

Pardon hocam resim atmadan anlatmak zor olacak biraz

---

tamamdir..