${\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^b}dx=\frac{2\Gamma(\frac{1}{b})}{ba^{\frac{1}{b}}}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\Gamma(n)}$ gama fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^b}dx=\frac{2\Gamma(\frac{1}{b})}{ba^{\frac{1}{b}}}}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

İntegrali inceleyelim :

$${\large\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^b}dx}$$

${ax^b=\omega}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large\frac{1}{ba^{\frac{1}{b}}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\omega}\omega^{\frac{1}{b}-1}d\omega}$$

İntegral ${y}$ eksenine göre simetrik olduğundan iki parçaya bölebiliriz.

$${\large\frac{2}{ba^{\frac{1}{b}}}\int_{0}^\infty e^{-\omega}\omega^{\frac{1}{b}-1}d\omega}$$

${\int_{0}^\infty e^{-\omega}\omega^{\frac{1}{b}-1}d\omega=\Gamma(\frac{1}{b})}$ olduğuna göre yerine yazalım.

$${\large\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^b}dx=\frac{2\Gamma(\frac{1}{b})}{ba^{\frac{1}{b}}}}$$