${\int_0^\infty e^{-x^2}erf(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}}$ eşitliğini ispatlayın

Question

 ${erf(x)}$ hata fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\int_0^\infty e^{-x^2}erf(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

$erf$ fonksiyonu: $$erf(x)=\frac{2}{\sqrt \pi}\int\limits_0^x e^{-t^2}dt.$$ Turevini alalim $$erf'(x)=\frac{2}{\sqrt \pi}e^{-x^2}.$$ Su an integralimizi cok rahat cozebiliriz: $$\lim\limits_{R\rightarrow \infty}\big[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{erf^2(x)}{2}\big]_{x=0}^{x=R}=\frac{\sqrt\pi}{4}.$$

Answer 2

Farklı bir şekilde bende yazayım.

${erf(x)}$ fonksiyonun tanımı :

$${erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}dt}$$

İntegralimiz :

$${\int_0^\infty e^{-x^2}erf(x)dx}$$

${erf(x)}$ yerine yukarıda verdiğim eşitliği kullanalım.

$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2}dt dx}$$

${\int_0^x e^{-t^2}dt=\omega }$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \omega d\omega}$$

İntegrali alalım.

$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{\pi}{8}}$$

$${\int_0^\infty e^{-x^2}erf(x)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}}$$

Comments

Ayni sekilde cozmussun..