${erf(x)}$ fonksiyonunun tanımı :
$${erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^xe^{-t^2}dt}$$
İntegralimiz :
$${\int erf(x)dx}$$
${erf(x)}$ yerine yukarıdaki eşitliği yazalım.
$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\int_0^xe^{-t^2}dtdx}$$
${\int_0^xe^{-t^2}dt=u}$ ve ${dx=dv}$ olacak şekilde kısmi integral alalım.
$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg[x\int_0^x e^{-t^2}dt-\int x\:e^{-x^2}dx\bigg]}$$
${1.}$ integrali yerine ${x\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)}$ yazalım.
${2.}$ integralde ${x^2=\omega}$ dönüşümü yapalım ve integrali bulalım.
$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg[x\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)+\frac{1}{2}e^{-x^2}\bigg]}$$
Sadeleştirelim.
$${\large\int erf(x)dx=x\:erf(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}+c}$$