İntegralimiz :
$${\int x^n e^{-x^k}dx}$$
${x^k=\omega}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.
$${k^{-1}\int\omega^{\frac{n+1}{k}-1}e^{-\omega}\:d\omega}$$
Tamamlanmamış gama fonksiyonu için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
$${\Gamma(s,x)=\int_x^\infty t^{s-1}\:e^{-t}\:dt}$$
$${\frac{\partial}{\partial\,x}\Gamma(s,x)=-x^{s-1}\:e^{-x}}$$
İntegralin iç kısmı için bu eşitlikleri kullanabiliriz.
$${k^{-1}\int\underbrace{\omega^{\frac{n+1}{k}-1}e^{-\omega}}_{\Large-\frac{\partial}{\partial\,\omega}\Gamma\big(\frac{n+1}{k},\omega\big)}d\omega}$$
Artık integrali kolayca bulabiliriz.
$${-k^{-1}\Gamma\bigg(\frac{n+1}{k},\omega\bigg)}$$
Başta değiştirdiğimiz değişkeni tekrar yazalım.
$${\color{red}{\large\boxed{\int x^n e^{-x^k}dx=-k^{-1}\Gamma\bigg(\frac{n+1}{k},x^k\bigg)}}}$$