Yansıma formülü :
$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\csc(\pi{x})$$
Her iki tarafıda $x$ e göre türevini alalım.
$$\Gamma^{'}(x)\Gamma(1-x)-\Gamma^{'}(1-x)\Gamma(x)=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc^2(\pi{x})$$
$\Gamma^{'}(x)=\Gamma(x)\psi(x)$ eşitliğini kullanalım.
$$\Gamma(x)\psi(x)\Gamma(1-x)-\Gamma(1-x)\psi(1-x)\Gamma(x)=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc^2(\pi{x})$$
Sadeleştirelim.
$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)\Big[\psi(x)-\psi(1-x)\Big]=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc(\pi{x})$$
$$\pi\csc(\pi{x})\Big[\psi(x)-\psi(1-x)\Big]=-\pi^2\cot(\pi{x})\csc(\pi{x})$$
$$\psi(x)-\psi(1-x)=-\pi\cot(\pi{x})$$
$$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi{x})$$
Şimdi aynı şekilde tekrar $x$ e göre türev alalım.
$$\psi_1(1-x)+\psi_1(x)=\pi^2\csc^2(\pi{x})$$
Aynı şekilde türevi $n$ kadar alırsak , formülü genelleştirmiş oluruz.
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\psi_n(1-x)+(-1)^{n+1}\:\psi_n(x)=(-1)^n\:\frac{d^n}{dx^n}\pi\cot(\pi{x})}}$$