Bernoulli-Laplace yayilma modeli

Question

$X_1$ ve $X_2$ diye adlandirdigimiz (deliyiz ya kovalara ad veriyoruz) iki tane kovamiz ve $1$'den $2n$'ye kadar numaralandirilmis $2n$ tane topomuz olsun. Bu toplarin bu iki kovaya her birisine $n$ tane gelecek  sekilde dagitilmasina duzenleme (konfigurasyon) diyelim. Yani mesela cift numarali toplari ilk kovaya geri kalanini ikinci kovaya koyunca bir duzenleme elde etmis oluruz. Dikkat edilirse ilk kovaya konan toplar ikinci kovaya konacak toplari, dolayisiyla duzenlemeyi belirliyor.

Basit soru. Toplam ${2n\choose n}$ tane duzenleme oldugunu gosterin.

Baslangic duzenlemesi diye adlandirilan duzenleme ilk kovada $1,2,\cdots,n$ toplarinin, ikinci kovada da geri kalan $n+1,n+2,\cdots,2n$ toplarinin bulundugu duzenlemedir. Bernoulli yayilma modelinde her adimda su islem yapilir: Her iki kovadan birer top rastgele aliniyor (yani her topun alinma olasiligi ayni ve $\frac{1}{n}$'ye esit) ve alinan toplar yer degistiriliyor. Birinci kovadan alinan top ikinciye, ikinci torbadan alinan top da birinciye konuyor.

Ne dedigi belli olmayan soru. Bu kovalardaki toplarin karismis olmasi icin ne kadar adim gecmesi gerekir?

Bonus. Ne dedigi belli olmayan soruda gecen karismak kelimesi ne anlama geliyor?

Answer 1

$2n$ tane elemandan $n$ tanesini secip ilkine koyarsak gerie kalani da ikinciye girecek mecbur. Bu secim sayisi da $C(2n,n)$ yapar.

Diger sorulari pas geciyorum. Fakat hepsinin olasiligi $1/n$. Hepsine kafamiza gore ad veriyoruz, hic onemli degil. Eee bunlari alip yer degistirmisiz ne fark eder? Fakat ilk durum icin su soz konusu: birinci torbadan $n+1$ numarali sayiyi secemem. Biraz bilgim var bu konuda. $n$ kere degisim yapilsa mesela. Iki torbadaki elemanlar tamamen yer degistirebilir. Bu bir olasilik. Hatta bu $n$ degisim sonunda ilk hale bile gelebilir, bu da bir olasilik. Fakat ek bir bilgi verilmedikce artik ilk torbada $n+1,\cdots,2n$ sayilarindan en az biri yok diyemem. (Fakat burda da sunu diyebilirim: Ya ikinci torbalardan hepsi ilk torbada ya da bunlardan en az biri ilk torbada degil.) 

Karismak  karismak demektir. Eger bir kac kere iskambil kagidi ile oyun oynadiysak biliriz ki bu deste karistirilmali, hatta oyle bir karistirilmali ki, karsimdaki hangi kagitlarin bana gelecegini bilmesin. Sifir bilgi (ya da sifira yakin).