Elimizde bir tane Markov zinciri var. Yani bir adet sonlu olasilik uzayi $(X,\nu)$, bir adet gecis matrisi $P=(p(x,y))_{x,y\in X}$, bir adet sonlu olcum uzayi $(Y,\mu)$ ve son olarak sonlu bir $\xi_0,\cdots,\xi_n:Y\longrightarrow X$ rassal degiskenler dizimiz var. Kuskusuz bu dortlunun bir Markov zinciri olusturmasi icin saglamasi gereken cesitli sartlar var. (Gereken tanimlar icin suraya ve oraya bakin)
Dikkat ettiyseniz rassal degiskenin tanimlandigi soruda, bir rassal $\xi$ degiskeninin dogal olarak olcum tanimladigindan soz ediliyor. O halde elimizde bir Markov zinciri varsa elimizde Markov zinciri datasi icinde bulunan rassal degiskenler tarafindan $i=0,1,\cdots, n$ icin $$\mu_{\xi_i}(x)=\mu\{\xi_i=x\}:=\mu(\xi_i^{-1}(x))$$ biciminde dogal olarak tanimlanan olcumler var. Markov zinciri tanimina bakildiginda, elimizdeki dortlunun saglamasi gereken ilk sartin su oldugunu goruruz: $$\mu_{\xi_o}(x)=\nu(x)$$Yani Markov zincirindeki bilgimiz, ozel olarak yalnizca baslangic dagilimi olan $\nu$'yu bilmemiz bize $\xi_0$ tarafindan tanimlanan olcumun bilgisini de veriyormus.
Simdi bu sorunun amacini tek bir cumlede dile getirebiliriz. Markov zincirimizin rassal matrisinin ve baslangic dagiliminin bilgisi $\mu_{\xi_i}$ dagilimlarinin butun bilgisini elde etmemizi saglar.
Birinci soru. (Bu soru fonksiyon sorusu. Asil sav icin de yardimci sav gorevi gorecek.) $x_k\in X$ elemani icin asagidaki kume esitligini gosterin:$$\xi_k^{-1}(x_k)=\bigcup_{x_0,\cdots,x_{k-1}\in X}\Big(\bigcap_{i=1}^{k}\xi_i^{-1}(x_i)\Big)$$ (Ekonomistler icin ipucu: Parantezin icindeki kismin bir elemani olmak demek su demek. $\xi_i$ altinda goruntusu $x_i$ demek. Birlesimi alirken ne yapiyoruz. $\xi_k$ disindakilerin degerlerinin degismesine izin veriyoruz ama $\xi_k$'nin degerinin $x_k$ kalmasinda israr ediyoruz. Yani birlesimdeki her elemanin $\xi_k$ altindaki goruntusu $x_k$. Ama diger $\xi_i$'lerde goruntusu farkli olabilir. O yuzden de goruntu olma olasili olan ne varsa hepsini birlesimde sayiyoruz. Artik bu soruyu matematik okumayan ekonomistler de cozebilir)
Ikinci soru. Bir onceki sorudaki birlesimin ayrik birlesim oldugunu gosterin. Yani $(x_0,\cdots,x_{n-1})\neq (y_0,\cdots,y_{n-1})$ ise $$\Big(\bigcap_{i=1}^{k-1}\xi_i^{-1}(x_i)\Big)\cap\Big(\bigcap_{i=1}^{k-1}\xi_i^{-1}(y_i)\Big)=\emptyset$$oldugunu gosterin.
Ucuncu soru. Birinci, ikinci ve suradaki birinci soruyu kullanarak (oha bunu da mi soyleyeyim, buradaki birinci sorudaki esitlige $\mu$ uygulayarak) su esitligi elde edin:$$\mu_{\xi_k}(x_k)=\mu\{\xi_k=x_k\}=\sum_{x_0,\cdots,x_{k-1}\in X}\nu(x_0)p(x_0,x_1)\cdots p(x_{k-1},x_k)$$
Dikkat ederseniz son esitlik bize $\mu_{\xi_k}$ dagiliminin baslangic dagilimi ve rassal matrisin girdileri cinsinden tarifini veriyor.