Rassal degiskenler ve Bayes dizisel formulu

Question

$X$ sonlu bir kume $(Y,\mu)$ olasilik olcumu ve $\xi_1,\cdots,\xi_n:Y\longrightarrow X$ rassal degiskenler olsun. Surada rassal bir $\xi$ degiskeninin $X$ uzerinde $\mu_{\xi}$ seklinde gosterdigimiz bir olasilik olcumu tanimladigini gormustuk. $x_1,\cdots,x_n\in X$ icin $$\mu\{\xi_n=x_n|\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}$$ifadesini $$\frac{\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}}{\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}}$$biciminde tanimlayalim. Son satirdaki bolumun payindaki ve paydasindaki ifadelerin tanimi icin suraya bakiniz.

Birinci soru. $A_i=\xi_i^{-1}(x_i)$ yazarak $\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}$ ifadesini $$\mu(\bigcap_{i=1}^n A_i)$$seklinde yazin. (Bu soru asiri kolay)

Ikinci soru. Birinci soruyu ve Bayes dizisel formulunu (suradaki dorduncu soruda formulu bulabilirsiniz) kullanarak  $\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}$ degerinin $$\mu\{\xi_1=x_1\}\mu\{\xi_2=x_2|\xi_1=x_1\}\cdots\mu\{\xi_n=x_n|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}$$degerine esit oldugunu gosteriniz.(Bu soru daha da kolay)

Ucuncu soru. Ikinci soruda ispatladiginiz esitligi $\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}$ ifadesinin tanimi olarak kullanarak ilk basta verilen tanimdaki esitligi elde edin.(Bu soru bile degil.)

Answer 1

1) Soruyu çözebilmek için buraya ile suraya arasında babunsal eşleştirme kabiliyetimi kullanıyorum: $\mu\equiv \nu$, $\xi\equiv f$ ve $k\equiv n$  ise,

$\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}:=\mu(\displaystyle\bigcap_{i=1}^n\xi_i^{-1}(x_i))=\mu(\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i)$.

2) Bu sefer gerçekten daha kolay. Oraya ile buraya  arasında sadece iki kez: $Y\equiv X$ ve $\nu\equiv \mu$, (her bir ters görüntü $\xi_i^{-1}(x_i)$ zaten tanıma göre $Y$'nin altkümesi ve) $\mu(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i)>0$ diye varsayarsak $\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}=\mu(\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i)$ $\overset{\text{Bayes d.f.}}{=}\mu\left(A_1\right)\mu\left(A_2\vert \bigcap_{i=1}^{1}A_i \right)\cdots \mu\left(A_n\vert \bigcap_{i=1}^{n-1}A_i \right)$
koşullu olasılığın tanımına göre

$=\mu(A_1)\frac{\mu(\bigcap_{i=1}^{2}A_i)}{\mu(\bigcap_{i=1}^{1}A_i)}\cdots \frac{\mu(\bigcap_{i=1}^{n}A_i)}{\mu(\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i)}$ $\overset{1)}{=}\mu\{\xi_1=x_1\}\frac{\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2\}}{\mu\{\xi_1=x_1\}}\cdots\frac{\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}}{\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}}$

burayadaki tanıma göre de

$=\mu\{\xi_1=x_1\}\mu\{\xi_2=x_2\vert \xi_1=x_1\}\cdots \mu\{\xi_n=x_n\vert \xi_1=x_1,...,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}$.

$\mu$ olasılık ölçümü olduğundan geriye tek $\mu(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i)=0$ durumu kalıyor, o zaman da $\mu\{\xi_n=x_n\vert \xi_1=x_1,...,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}$ terimi mantıklı değil, bu yüzden bu durum hiç yokmuş gibi davranalım.

3)  $\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_n=x_n\}:=\mu\{\xi_1=x_1\}\mu\{\xi_2=x_2\vert \xi_1=x_1\}\cdots \mu\{\xi_n=x_n\vert \xi_1=x_1,...,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}$ (*) ise $\mu\{\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}:=\mu\{\xi_1=x_1\}\mu\{\xi_2=x_2\vert \xi_1=x_1\}\cdots \mu\{\xi_{n-1}=x_{n-1}\vert \xi_1=x_1,...,\xi_{n-2}=x_{n-2}\}$ ve böyle devam edip bulduklarımız (*)'a yazıp istediğimiz terimi yalnız bırakırsak olur diye düşünüyorum.

Comments

Acep esitliklerde alt satira mi gecsen biraz? okumasi daha kolay olur.

Answer 2

1) verilen suraya linkindeki tanimdan dolayi dogru.
2) artik verilen ifadeyi kesisim seklinde yazdik, verilen suradaki linkinde ispatlanmis olan dorduncu sorudan dolayi bu sekilde yazabiliriz. (cunku artik kesisimdeyiz).
3) yine ayni linkteki cevaba bakarsaniz, tumevarimdan bir ispat var ve o ispatta verilen esitlik tam da bu esitlik. (yine kesisimde oldugumuzu unutmuyoruz).

Not: Hic dolar isareti kullanmadim..