Şuradaki soruda bir Markov zincirinin bileşenlerinden olan rassal bir değişkenin tanımladığı dağılımın Markov zincirinin başlangıç dağılımı ve stokastik matris tarafından belirlendiği gösteriliyor. Bu soruda da aynı fikir bir ileri boyuta taşınacak.
Her şey linki verilen sorudaki gibi.
Soru bir. Şu eşitliği ispatlayın. $$\mu\{\xi_{k+1}=x_{k+1}|\xi_0=x_0,\cdots,\xi_k=x_k\}=\mu\{\xi_{k+1}=x_{k+1}|\xi_k=x_k\}.$$
Şimdi birazcık geyik yapalım. Markov zincirimizdeki kavramlarımıza günlük hayatımızdan kavramların karşılıklarıymış gibi davranıp, yukarıdaki eşitliğini günlük hayatımızdan bir durummuş gibi dile getirelim.
Mesela $\mu\{\xi_k=x\}$ ifadesini (normalde bu bir sayı) şöyle okuyalım: $k$'inci adımda $x$ durumunda olma olasılığı. Biliyorsunuz o ifade aslında $\mu_{\xi_k}$ dağılımının $x$'deki değerine eşit. Yani kalın harflerle yazdığımız gibi bir okuma çok da abuk sabuk bir okuma değil. Peki böyle bir okuma yapınca yukarıdaki eşitlikte bulunan ifadeleri nasıl dile getirmeliyiz? $\mu\{\xi_k=x\}$'i dile getirmek kolaydı çünkü o değeri anlamlandıran bir dağılım vardı. Acaba $$\mu\{\xi_{k+1}=x_{k+1}|\xi_0=x_0,\cdots,\xi_k=x_k\}$$ ya da $$\mu\{\xi_{k+1}=x_{k+1}|\xi_k=x_k\}$$ ifadesini bir dağılımın değerleri gibi görebilir miyiz? Eğer görebilirsek onları da okuyabilirdik. Birincisini şöyle: Baslangıç durumunda $x_0$, $\cdots$, $k$'inci adımda $x_k$ olmuşken $k+1$'inci adımda $x_{k+1}$'in olma olasılığı. İkincisini de şöyle: $k$'inci adımda $x_k$ olmuşken $k+1$'inci adımda $x_{k+1}$'in olma olasılığı. Peki bunları böyle okuyunca soruda verilen eşitlik nasıl okunurdu? Şöyle: $k+1$'inci adımda $x_{k+1}$ olma olasılığı yalnızca $k$'daki durumun ne olduğuna bağlıdır.
Pekala. Once Rassal degiskenler ve Bayes dizisel formulunu ve oradaki tartismayi animsamata yarar var. Orada $$\mu\{\xi_0=x_0,\cdots,\xi_k=x_k\}$$ ifadesini Bayes dizisel formulunu kullanabilmek icin su sekilde yazmistik $$\mu\Big(\bigcap_{i=1}^n\xi^{-1}(x_i)\Big).$$ Ama boyle yazdigimiz zaman $$\mu\{\xi_{k+1}=x_{k+1}|\xi_0=x_0,\cdots,\xi_k=x_k\}$$ ifadesi su hale geliyor: $$\frac{\mu\Big(\bigcap_{i=1}^n\xi^{-1}(x_i)\Big)}{\mu\Big(\bigcap_{i=1}^{n-1}\xi^{-1}(x_i)\Big)}$$ Ama bu tam olarak bir kosullu olasilik: $\xi_0,\cdots,\xi_k$ fonksiyonlarinin degerleri sirasiyla $x_0,x_1,\cdots,x_k$ iken $\xi_{k+1}$ fonksiyonunun degerinin $x_{k+1}$ olma olasiligi demek.
Soru iki. Ilk soruda ispatlanan esitligin su sekilde ozetleyin: Bir markov zincirinde $k+1$'inci adimda olacaklarin olasiligi yalnizca $k$'inci adimla alakalidir. Onceki adimlarda ne oldugu onemsizdir.