Bütün pisagor üçlülerini veren bir formül bulun.

Question

Eğer $a,b,c$ tamsayılar sayıları $a^2+b^2=c^2$ eşitliğini sağlıyorsa $(a,b,c)$ üçlüsüne Pisagor üçlüsü denir. Örneğin $(3,4,5)$, $(7,24,25)$ birer pisagor üçlüsüdür. Bütün Pisagor üçlülerini veren bir formül bulun.

Comments

tam istediğim sorular:)

Answer 1

Benim sevdigim kanit daha analitik/geometrik. Ustelik biraz eliptik egrilere de goz kirpiyor. Ilk gozlem su:

$(u,v,w)$ uclusu bir pisagor uclusu olmasi $(\frac{u}{w},\frac{v}{w})$ ikilisinin duzlemde birim cember uzerinde olmasina denk. Yani, eger duzlemde merkezi orjin yaricapi bir olan cemberi $S$ ile gosterirsek bir onceki denklik soyle yazilabilir:

\begin{equation}u^2+v^2=w^2 \Leftrightarrow (\frac{u}{w},\frac{v}{w})\in S.\end{equation}

Yani cember uzerindeki her rasyonel koordinatli nokta bir Pisagor uclusu veriyor, her Pisagor uclusu de cember uzerinde koordinatlari rasyonel olan bir nokta veriyor. Simdi $P=(-1,0)$ noktasini ele alalim. Bu nokta acik ki $S$ cemberi uzerinde. Bu noktadan gecen dogrularin $S$ cemberini kestigi noktalara bakacagiz. $P$ noktasindan gectigi bilinen bir dogruyu belirleyen sey bu dogrunun egimi oldugu icin bu noktadan gecen dogrularin hepsi

$$ l_{\theta}=P \text{ noktasindan gecen, egimi }\ \theta \text{ olan dogru }\ =\{(x,\theta x+\theta):x\in\mathbb{R} \}$$ bicimindedir. Simdi sunu ispatlayacagiz:

$l_{\theta}\cap S$ rasyonel bir noktadir ancak ve ancak $\theta\in\mathbb{Q}$. Ancak bunu ispatlamak zor degil.

Answer 2

\[
a^{2}+b^{2}=c^{2}
\]

olacak biçimde bir $\left( a,b,c\right) $ Pisagor üçlüsü alalım. Eğer bu üç tamsayının ortak böleni varsa gerekli sadeleştirmeler yapılarak $a$ ile $b$ den biri tek biri çift olacak şekle dönüştürülebilir. Böylece $a$ nın çift $b$ nin tek olduğunu varsayabiliriz. Şimdi

s ve t tek tamsayıları aralarında asal ve

\[
s>t\geq 1
\]

olmak üzere $\left( a,b,c\right) $ Pisagor üçlüsü

\begin{eqnarray*}
a &=&st \\
b &=&\frac{s^{2}-t^{2}}{2} \\
c &=&\frac{s^{2}+t^{2}}{2}
\end{eqnarray*}

biçiminde üretilebilir. (Üç bilinmeyenli denklem iki bilinmeyenli denkleme indirgenmiş oldu).

Comments

$a,b,c$ biçimindeki sayıların Pisagor üçlüsü oldukları açık. Ama bütün Pisagor üçlülerinin bu biçimde olmak zorunda olduğunun ispatı nasıl olacak?

---

Evet haklısın, sorunun asıl önemli kısmı bu kısım. Aşağıda bunu gözönüne alarak cevabı düzenledim.

Answer 3

\[
a^{2}+b^{2}=c^{2}
\]

    olacak biçimde bir $\left( a,b,c\right) $ Pisagor üçlüsü alalım. Eğer bu üç tamsayının ortak böleni varsa gerekli sadeleştirmeler yapılarak bu üç sayı aralarında asal hale getirilebilir. Bu tip Pisagor üçlülerine ilkel Pisagor üçlüleri denilir. Sorunuzun yanıtını ilkel Pisagor üçlüleri için elde etmek yeterlidir.
    Öncelikle $a$ ile $b$ nin ikisi birden çift olamaz, çünkü bu durumda ilkel Pisagor üçlüsü olamazlar. Öte yandan $a$ ile $b$ nin ikisi birden tek olursa, eşitliğin bir tarafı tek diğer tarafı çift olacağından bu durumda mümkün değildir. Dolayısıyla $a$ nın tek $b$ nin çift olduğunu varsayabiliriz.

\[
a^{2}=c^{2}-b^{2}=\left( c-b\right) \left( c+b\right)
\]

yazalım. Bu durumda $\left( c-b\right) $ ile $\left( c+b\right) $ aralarında asal olur. Aralarında asal iki sayının çarpımları tamkare ise her biri tamkaredir. Dolayısıyla

\begin{eqnarray*}
c-b &=&s^{2} \\
c+b &=&t^{2}
\end{eqnarray*}

olarak biçimde $s$ ve $t$ tamsayıları vardır. Buradan her $\left( a,b,c\right) $ Pisagor üçlüsünün

\[
s>t\geq 1
\]
olmak üzere
\begin{eqnarray*}
a &=&st \\
b &=&\frac{s^{2}-t^{2}}{2} \\
c &=&\frac{s^{2}+t^{2}}{2}
\end{eqnarray*}
biçiminde üretilebileceği çıkar.

Answer 4

Çözüm Geomania.org sitesinden Metin Aydemir'e ait. Orijinal çözüm burada

 

İkinci soruya odaklanalım. $x^2+y^2=1$ çemberini çizelim. Bu çemberin üzerindeki noktaları parametrize edelim. Çember üzerinde parametrize edeceğimiz nokta ile $(-1,0)$ noktasını bir doğru ile birleştirelim. Bu doğrunun $y$-eksenini kestiği noktasının ordinatı $(\lambda)$ ile parametrizasyonumuzu sağlayacağız. Çember üzerindeki her nokta ($(-1,0)$ hariç) ile $y$-ekseni üzerindeki her nokta birebir-örten olarak eşleşir.

[center][img]https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8134.0;attach=16275;image[/img][/center]

Verilen denklemin çözümü olan bir $(x,y)$ noktasını alalım. Bu nokta çemberin üzerinde, birinci bölgede yer alacaktır. Bu noktanın $\lambda$'sına bakarsak, basit bir üçgen benzerliği ile $0<\lambda<1$ ve $\lambda$'nın rasyonel sayı olacağını görebiliriz (Hatta $\lambda=\frac{y}{x+1}$ olacaktır).

Eğer $0<\lambda<1$ değeri rasyonel ise bu $\lambda$'ya karşılık gelen nokta $(x,y)$ için $x^2+y^2=1$ ve $\lambda=\frac{y}{x+1}$ olacaktır. $$x^2+y^2=x^2+\lambda^2(x+1)^2=1\implies (1+\lambda^2)x^2+2\lambda^2x+(\lambda^2-1)=(x+1)((1+\lambda^2)x+(\lambda^2-1))=0$$ $$\implies x=\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1}$$ Yani $x$, ve dolayısıyla $y$ de rasyoneldir. Dolayısıyla burada "ancak ve ancak" ilişkisi vardır. Bizim denklem çözümünü bulmamız için sadece $\lambda$'yı rasyonel olarak incelememiz yeterlidir. Yukarıda bulduğumuz gibi $\lambda$ için $(x,y)=\left(\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1},\frac{2\lambda}{\lambda^2+1}\right)$ olduğundan $(a,b)=1$ için $\lambda=\frac{a}{b}$ yazarsak $$(x,y)=\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)$$ elde edilir.

Pisagor üçlüleri de bu çözümden kolayca $(a,b)=1$ için $(x,y,z)=(b^2-a^2,2ab,a^2+b^2)$ bulunur.