Sonlu sayıda sayıyı toplamayı ta ilkokuldan beri öğreniyoruz; iki sayıyı toplayan üç sayıyı da toplar, sonra dördüncüyü toplar vs. Ve sonlu sayıda sayıyı istediğimiz sırada toplayabiliriz.
Ama sonsuz sayıda sayıyı toplamayı ilkokulda öğrenmiyoruz. Lise sonda mı ne öğretiliyor. Bu kavramın tanımlanması lazım.
En yaygın tanım şöyledir: Öncelikle toplayacağımız sayıların askerler gibi birinci, ikinci, üçüncü diye sıraya dizilmesi gerekir. Toplayacağımız sayıları şöyle sıraya dizelim:
$$ a{0} , a{1} , a_{2},\ldots $$
(Bu tür sıralanmış sayılara dizi denir.) Tabii bu sayılar başka türlü de sıraya dizilebilirdi, ama sıralamalardan birini sabitleyelim. Biz bu sıralamanın verdiği sonsuz toplamı tanımlayacağız.
Sonsuz toplama geçmeden önce "kısmi toplamları" tanımlayalım:
\begin{align}
s{0} & = a{0},\
s{1} & = a{0 }+ a{1},\
s{2 }& = a{0 }+ a{1} + a{2},\
...
\end{align}
olsun. Bu ``kısmi toplam"ların her biri sonlu bir toplamdır, bunlarla sorun yoktur, ne de olsa sonlu sayıda sayıyı toplamayı biliyoruz. Böylece bir $(sn)n$ sayı dizisi elde edilir. $a0, a1, a2,...$ sayı dizisinin toplamının kısmi toplamlar dizisinin limiti olduğunu söyleyelim.
Püf nokta: Sonsuz sayıda sayının toplamı, toplanacak sayıların nasıl sıraya dizildiğine göre değişebilir. Sizin sorunuzda tamsayılar birinci sayı, ikinci sayı, üçüncü sayı diye sıraya dizilmemiş. Ama bir başka gerçek de tamsayıları nasıl sıraya dizerseniz dizin, kısmi toplamların limitinin olmayacağı. Bir başka deyişle, yaygın olarak kabul edilen "sonsuz sayıda sayının toplamı" tanımıyla, sorunuz anlamsız; ötesi, soruyu anlamlı kılmak için tamsayıları sıraya dizseniz de sonsuz toplam bulunamıyor, çünkü kısmi toplamların limiti olmuyor. Örneğin tamsayıları
$$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, \ldots$$
diye sıraya dizerseniz, kısmi toplamları
$$0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, \ldots$$
bulursunuz ve bu dizinin limiti yoktur. Tamsayıları nasıl sıraya dizerseniz dizin, yukarıda verdiğim tanımıyla tüm tamsayıların toplamını tanımlayamayacaksınız, çünkü kısmi toplamların limiti olmayacak.
Eğer ``sonsuz sayıda sayının toplamı" kavramını başka türlü tanımlamak istiyorsanız, buyurun, tanımı yapın, ondan sonra tartışalım.
Siz muhtemelen şöyle düşünüp cevabın sonsuz olduğunu sanıyorsunuz:
$$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, \ldots$$
dizisinin ilk üç terimin, ilk beş terimini, ilk yedi terimini vs toplarsam 0 bulurum, dolayısıyla yanıt 0 olmalıdır. Ne yazık ki sayıları üçer beşer toplama yöntemi kabul edilmiş toplama yöntemlerinden değildir.