Question

Bir parabolün x eksenini kestigi noktalardan cizilen tegetler dik kesiştiklerinde $\Delta$ neden 1 oluyor?

Comments

$\Delta$ nedir?

---

İkinci dereceden fonksiyonlarda kökü bulmamizi saglayan formul de bu kural ile baglantisini anlayamadim

---

Parabolleri ikinci derece denklem olarak ifade edebilir miyiz?

$x$ eksenini kesen noktaların bir önemi var mı?

---

2. derece denklem değil de fonksiyon olarak tanimlariz. x eksenini kestiği noktalari bulmak için de fonksiyonu 0 a eşitleyerek denklem cözümü yapiyoruz ve buradan çizilen tegetler dik kesişiyor yanı ortak çözüm yapilir. Buraya kadar anladım teğet oldugunda da deltayi 0 a esitleriz sonraki adım nedir?

---

Sormak istedigim "$\Delta$ denilen $y^2=ax^2+bx+c$ icin $\Delta=b^2-4ac$ mi?" idi.

---

Evet  aynen.

Answer 1

Egimlerin carpimi $-1$ olmali. $$-1=(2ax_1+b)(2ax_2+b)=b^2+2ab(x_1+x_2)+4a^2(x_1x_2)=b^2+2ab(-\frac{b}{a})+4a^2(\frac ca)=4ac-b^2=-\Delta.$$

Comments

Türevsiz kanıtı arıyorum

---

Bir parabolün teğet eğimini türevsiz de bulabiliriz ama bu türev fikri ile aynı olur. (benim kafamdaki sekant eğrileri ile ilgili yaklaşım.)

Sen burada eğimleri türevsiz nasıl hesaplamak istiyorsun? Sorunun kendisinden bağımsız. Bir parabolde teğet doğrusunun eğimini nasıl hesaplarsın?

---

Hocam nerak ettim; parabolde üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi türevsiz nasıl bulunur? Sekant eğrisi nedir?

Answer 2

Parabolün simetri ekseninden dolayı, köklerinden çizilen teğetlerin birbirine dik olduğu durumda bunların eğim açılarının $45^{\circ}$ ve $135^{\circ}$ olduğunu görmek kritik nokta.  

$\Delta=b^2-4ac$ olmak üzere teğetin geçtiği kök noktasından biri $(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},0)$ ve eğimi $1$ olmak üzere teğetin denklemi $$y=x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$  olur.

Teğetlik şartından dolayı parabol ile bu doğrunun ortak çözüm denkleminin çift kat kökü olmalıdır. Ortak çözüm denklemi $$ax^2+bx+c=x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$  $$ax^2+(b-1)x+c-\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}=0$$ ve buradan denklemin kendi diskriminantı $0$ a eşitlenerek  $$\Delta=b^2-4ac=1$$ bulunur.