Question

"Metrik uzayda bir  altkümenin açık olması için gerek ve yeter şart açık yuvarların birleşimi olarak yazılabilmesidir." şeklinde açık kümeleri tanımlarsak bu kümelerin kümesinin bir topoloji oluşturduğunu gösteriniz?

Comments

Acik yuvar ne emin olmamakla beraber, eger bu "Ball" denilen $B(x; \epsilon)$ ise bunlar bir baz olusturur. Bu da ispati verir.

Answer 1

Bu şekli ile gösterilmesi istenen şey bir önerme değil, metrik topolojinin "tanımı".

Şunun ispatı isteniyor olabilir:

Bir metrik uzayda, açık yuvarlar (o uzayda) bir topoloji için bir bazdır. 

Bu da iki koşulun sağlandığını göstererek yapılır, 

1. bu yuvarların birleşiminin tüm uzaya eşit olması.

2. Bu yuvarların herhangi ikisinin arakesitinde bir nokta olduğunda, o noktayı içeren ve arakesit içinde kalan bu yuvarlardan birinin var olması (eşdeğer olarak bu yuvarların kesişiminin, bu yuvarların birleşimi olarak yazılabilmesi)

Comments

Haklısınız hocam, soruyu yanlış ifade etmişim.Düzelttim.

---

O zaman, bu ailenin, topoloji olmanın üç koşulunu sağladığını göstermek gerekir.

---

Bu açık yuvarlar ailesinin ürettiği topoloji, soruda tanımlanan kümeler ailesidir.