Topolojik Denk Metrikler

Question

$$d_1(x,y):=\Big{|}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Big{|}$$

kuralı ile verilen $$d_1:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$

metriği ile

$$d_2(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$

kuralı ile verilen

$$d_2:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$ metriğinin topolojik denk olduğunu gösteriniz.

Comments

hocam bunlar topoloji degilmi. Yanı cebırsel degıl normal topolojı

---

Topoloji değil mi derken?

---

topolojiyle yeni tanışıyorumda hocam önbilgi olarak kaydediyorum bu soruları oyuzden sordum

---

Bu metriklerin düzgün denk olmadıklarını bu linkte bulabilirsiniz.

Answer 1

Tanım: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset {T}\sim d_2:\Leftrightarrow \tau_{d_1}= \tau_{d_2}$$

 

$$\left.\begin{array}{rr}n\in\mathbb{N}\Rightarrow B^{d_1}\left(n,\frac{1}{n(n+1)}\right)=\{n\}\in\tau_{d_1}\Rightarrow \tau_{d_1}=2^{\mathbb{N}}\\ \\ n\in\mathbb{N}\Rightarrow B^{d_2}\left(n,1\right)=\{n\}\in\tau_{d_2}\Rightarrow \tau_{d_2}=2^{\mathbb{N}}\end{array}\right\}\Rightarrow\tau_{d_1}=\tau_{d_2} $$

olduğundan $d_1$ metriği ile $d_2$ metriği birbirine topolojik denktir. Bu iki metriğin düzgün denk olmadığını görmek için bu linke bakabilirsiniz.

Not: $(X,d)$ metrik uzay olmak üzere $$\tau_d:=\{A|(A\subseteq X)(A, \ d\text{-açık})\}.$$