İki irrasyonel sayı $a$ ve $b$ için $a^b$ rasyonel olabilir mi?
$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ bir aşkın sayıdır (bunu göstermek kolay değildir, şu linke bakabilirsiniz: http://matkafasi.com/7035/%24-sqrt-a-sqrt-a%24-rasyonel-olabilir-mi).
Bunun yerine, kontrolü daha basit olan bir örnek verelim. Örneğin
$\sqrt{2}^{\log _{\sqrt{2}}3}=3$ bir tam sayıdır ve $\log _{\sqrt{2}}3$ bir irrasyonel sayıdır. (Rasyonel varsayarsak, $9^{n}=2^{k}$ ($n,k\in \mathbb{N}$) çelişkisini elde ederiz).
$e^x$ sürekli bir fonksiyon ve $e^q$ sayısı hiç bir rasyonel $q=a/b \neq 0$ için rasyonel olamaz: olursa $e^a$ da rasyonel olur ve $e$ sayısı $x^a-e^a$'nın kökü olur ve bu da $e$ sayısının rasyonel sayılar üzerindeki aşkınlığı ile çelişir. Demek ki sadece irrasyonel kuvvetlerden geliyormuş rasyonel değerler.
http://matkafasi.com/102501
$a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ ve $b=\sqrt{2}$ olmak üzere $a^b=2$ olur.
$\sqrt{2}^\sqrt{2}$ irrasyonel mi?
Peki $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ irrasyonel mi?
Bence guzel yontem olmus ama Gokhan hocam sorusunda hakli.Ispat soyle olabilir: a=$\sqrt 2$ ve $b=\sqrt 2$ ve $a^b$ rasyonelse bu bir ornektir. Eger irrasyonelse $A=a^b$ diyelim, $A^b=2$ olacagindan ilki ornek degise, bu bir ornektir.
Sorun yok, guclu teoremler kullanmaya da gerek yok. Eger $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ rasyonelse $a=b=\sqrt{2}$ aliriz.
Bir ust yorum ondan bahsediyor, Sercan'in yaptigi :)