Türevlerin Ara Değer Özelliği teoremi .

Question

$a$  ve   $b$   , $f$ ' nin türevli olduğu bir aralıkta iki noktaysa, $f'$ , $f'(a)$  ile  $f'(b)$ arasındaki her değeri alır.

sanırım ilgili,http://matkafasi.com/67537/aralikta-ozelligine-olmayan-fonksiyon-aralikta-fonksiyonun?show=67537#q67537

Türevde sadece bu teoremi tam kavrayamadım ve ispatına uğraşamadım.

Comments

Darboux Teoremi olarak gecer. Ispatin neresinde takildigini eklersen daha iyi olur.

---

ispatı bulamadım zaten, güzel bir ispatınız varsa atarmısınız. 

---

İpucu: $f'(a)<\lambda<f'(b)$ olsun.$g(x)=f(x)-\lambda x$ fonksiyonunun $[a,b]$ aralığındaki minimum değerine uçlarda erişmediğini göstermek yeterlidir. 

Bunun için de limitlerle ilgili basit ve temel bir özellik yeterli oluyor.

---

Hocam aslında tam ne yapmak ıstedıgımızı anlamadım, bunun sezgisel anlaşılırlıgı nedir? Örneğin siz nasıl kafanızda canlandırıyorsunuz.Acaba tüm olay , bir fonksiyonun tanım aralık sınırlarında, diyelim $[a,b]$ olsun,  $f(x)$  bu aralık için $f(a)$   ve    $f(b)$  arasındaki her değeri en az bir kere alır, çünki dalgalanmalar olursa birden fazla da alabılır.Ancak bunun eğimlerle bağdaştırması kafamı karıştırdı mesela bir eğri aldım ve eğim dogrularını çızdım, $f'(a)$   ve   $f'(b)$ arasındaki değerleri alıyoruz ve aralığı aşıp bu aralık dışındaki değerleri de alıyoruz acaba hatam nedir? Ve bu teoremi çok mu abartıyorum, bunu tam anlamadan devam edemıyorum resmen kıtlendım, biraz fizik baktım geri döndüm ancak hala kilitim.

Dediğiniz g fonksiyonunun türevi $f'(x)-\lambda$   dır.Ekstremum teoremine göre $f'(x)=\lambda$  iken kritik noktamız vardır vs. dedim ancak gene tam emin olamadım.Çünki $x=a$ gibi bir x değerinden nokta bulamadım, epsilon deltayla mı çözecegiz?Sanırım türevin limit tanımı da olur, veya olmaz.selamlar sevgiler.

---

ek olarak ara ozelligi var ise turevlerinin de ara ozelligi oldugundan nasil eminiz veya emin miyiz?

---

"Sanırım ilgili" dediğin soru, bu sorunun aynısı değil mi? Ben mi yanlış okuyorum?

---

Aynısı değil. O teorem, "iç noktada ekstremum VARSA türev ya yoktur ya da 0 dır " der. Bu teoremde, verile koşullarda, ekstremumun iç noktada olduğunu gösterip o teoremi kullanıyoruz.

---

@DoganDonmez Ben fotonyiyenadam'ın soruda verdiği link için söylemiştim.

---

@Ozgur haklısın, ben dikkat etmemişim.

---

@Ozgür, @DoganDonmez, hocalarım ,"Bir aralıkta ara değer özelliğine sahip olmayan bir fonksiyon,o aralıkta başka bir fonksiyonun türevi olamaz" demekten kastımız tam olarak nedir ,ara değer ozellıgıne sahıp olmayan fonksıyonun hangı ozellıklerı oluyor? sabit bir fonksiyon mu oluyor? olurken anlaşılıyor ancak olmayınca hangı ozellıklerden feragat edıyor hangılerını muhafaza edıyor? Teşekkürler saygılar,selamlar.

---

Kendimin son yorumuna cevap:

@Anıl, eğer aşağıdaki fonksiyonu tanımlarsak daha iyi anlayacağından eminim.

$g(x):=\begin{cases}1\quad \text{   eğer} \quad 0<x\le 1\\0\quad \text{       eğer} \quad x=0\\-1\quad \text{eğer} \quad -1\le x<0 \end{cases}$ 

Teorem diyorki, eğer bir fonksiyon bir $I$ kapalı aralığında türevliyse kapalı aralıkların uç noktalarının türevlerinde aldığı değerler arasında olan bir $k$ reel sayısı için aralığın içinde öyle bir $c$ vardır ki;

$$f'(c)=k$$ olur. Dolayısıyla eğer bunu sağlamayan bir fonksiyon varsa terstürevi yoktur. Yukardaki örnekte $k=1/2$ seçelim, bu $k$'ya denk gelen bir $x=c$ noktası olmadığından g'nin terstürevi yoktur( herhangi bir fonksiyonunu türevi g değildir.) 

Answer 1

$g'(a)<0$ ve $g'(b)>0$ olur.

$g'(a)=\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ olduğundan,

$\varepsilon={|g'(a)|}=-{g'(a)}$ olsun. Limit tanımından,

$0<|x-a|<\delta$ iken  $\left|\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right|<\varepsilon=-{g'(a)}$ olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır.

$a<x_1<b$ ve $|x_1-a|<\delta$ olacak şekilde seçelim.

$\delta$ nın seçiminden (basit işlemlerden sonra) $g(x_1)<g(a)$ elde edilir.

Bu da, $g$ nin $[a,b]$ aralığında minimum değerine $a$ da erişemeyeceğini gösterir.

Benzer şekilde $g$ nin $[a,b]$ aralığında minimum değerine $b$ de erişemeyeceği de gösterilir.

 

$g,\ [a,b]$ aralığında (türevlenebilir olduğundan) sürekli olduğu için  (Sürekli fonksiyonlar için Maksimum/Minimum  Teoreminden) bu aralıkta bir noktada minimum değerine erişmek zorundadır.

Öyleyse, $g,\ [a,b]$ aralığında,  bu aralıktaki minimum değerine bir iç noktada  erişir.

İç ekstremum teoreminden,

( http://matkafasi.com/80070/ic-ekstremum-teoremini-ispatlayin-ispatim-yeterli-mi?show=80070#q80070 )

bu noktada (türevlenebildiği için) türevi 0 olur.

$g'(c)=0$ olması $f'(c)=\lambda$ olması ile aynı şeydir.