$\displaystyle \sum \limits_{m=k}^Nm\frac{ \left( \begin{matrix} m-1 \\ k-1 \end{matrix} \right) }{\left( \begin{matrix} N \\ k \end{matrix} \right)}=\frac{k(N+1)}{k+1}$ eşitliğini ispatlayınız.

Question

Salih Durhan hocamızın MD'nin 103. sayısındaki "Alman Tank Problemi" isimli yazısından. Bu eşitliği anlamayı okura bırakmış ama ben işin içinden çıkamadım.

Comments

$\binom Nk$ sabit degil mi? Disariya postalanabilir.

---

Onu postalayalı epey oldu zaten, ama yine de çıkmadı. Sanırım ekleme çıkartma yapıyoruz, sadece sezgisel ama.

Answer 1

İfadeyi düzenlersek;

$\dfrac{1}{\dbinom{N}{k}}\displaystyle\sum_{m=k}^N m\dbinom{m-1}{k-1}=\dfrac{kN+k}{k+1}$

Ve biliyoruz ki;


$\dbinom{m}{k}=\dfrac{m(m-1)!}{k(k-1)!(m-k)!}=\dfrac{m}{k}\dbinom{m-1}{k-1}$

Hatta bunu genelleştirip;


$\dbinom{m}{r}=\dfrac{P(m,m-u)}{P(r,r-u)}\dbinom{m-u}{r-u}$  diyebiliriz, neyse;


$\dfrac{1}{\dbinom{N}{k}}\displaystyle\sum_{m=k}^N m\dbinom{m-1}{k-1}=\dfrac{1}{\dbinom{N}{k}}\displaystyle\sum_{m=k}^N k\dbinom{m}{k}=\dfrac{k(N+1)}{k+1}$

hertarafı $k$  ya bölelim ve eşitliğe bakalım;

$\displaystyle\sum_{m=k}^N \dbinom{m}{k}=\dbinom{N}{k}\dfrac{N+1}{k+1}=\dbinom{N+1}{k+1}$

http://matkafasi.com/100405/serinin-esitligi-ispatim-gosterilir-dbinom-displaystyle

buradaki soruda gösterdim ki; 


$\displaystyle\sum_{m=k}^N \dbinom{m}{k}=\dbinom{N+1}{k+1}$

İspatlanır.$\Box$

Comments

Sanırım ufak bi hata yapılmış k ile çarpılması gereken yerde bolmussunuz 

---

Çok teşekkürler,düzelttim, kagıtta cozup aktarınca hatalar olabılıyor :)

---

İncelemeye alındı sayın foton :)