Question

Butun devirli gruplar  $\mathbb{Z}$ nin homomorfik image dir, gosterin..

Comments

$\Bbb{Z}$'den devirli grup $G=<a>$'ya $k\rightarrow a^{k}$ olacak şekilde bir bağıntı tanımlayalım. Bu bağıntı iyi tanımlı midir? Epimorfizma olur mu? Bir bakiverin. 

---

Eger $G=<g>$ sonsuz ise $f:  G=<g> \longrightarrow \mathbb{Z}$  ve $f(g^k)=k$ ise yarar. Ama $G$ sonlu ise ?

---

Nedense homomorfizmanin hep orten olacagini dusunuyorum.. halbuki degil.. Tesekkurler..

---

<p>
     Sonlu devirli gruplar $\Bbb{Z_{n}}$'e izomorf. O zaman da $g^{k}\rightarrow \overline{k}$ olarak tanımlayabiliriz. 
</p>

---

Homomorphic Image dediğimizde örten olmalı, dogru düşünüyorsunuz. 

---

Yani ilk sorunuz yerinde bir soruydu. 

---

Ama o zaman devirli sonlu gruplarin homomorfic image leri de sonlu olur nasil Z'ye orten olacak? Benim anlamadigim nokta bu..

Aslinda sorum iki parca:

1) prove that every cyclic group is a homomorphic image of Z.

2)Prove that cyclic groups are either isomorphic to Z or isomorphic to the integers modulo n for some n.

2) kisim icin 2 durum goz onune alacagiz: i) G sonsuz ise f(g^k)=k  ise yarar. ii) G sonlu ise  f(g^k)=[k] ise yarar.

1) sorunun tam cevabi nasil olmali?
 

---

Sonlu devirli gruplar $\Bbb{Z_{n}}$'ye izomorf ve sonsuz devirli gruplar da $\Bbb{Z}$'ye izomorf. Dolayısıyla her iki durum icin sırasıyla $k\rightarrow \overline{k}$ ve $k\rightarrow g^{k}$'ya tanımlarsak istediğimizi elde ederiz. Yani 1 de Tamamdir. 

---

Böylece her devirli grup tamsayıların bir homomorfik görüntüsü olur. Tamam mı Ökkeş. 

---

Bu iki soru ayni soru icinde verilmis? Acaba onemli nokta Z_n 'nin Z' nin alt kumesi olmasiyla mi alakali? ve homomorfik dedigi icin orten olmak zorunda degil  :(

---

Siz şimdi homomorphic Image konusuna bir göz atıverin lütfen. Aksam ayrıntılı yazmaya çalışacağım. 

---

Teskkurler, yarin sinavim var :)

---

Anladım, başarılar. 

---

Tam sayılardan herhangi bir gruba bir homomorfizma yazmak için 1'in nereye gittiğini bilmek yeterli. Bunu görebiliyor musun? Lineer cebirde olduğu gibi. Taban elemanının nereye gittiğini biliyorsan bütün uzayın nereye gittiğini biliyorsun demektir. Burada da 1'in nereye gittiğini biliyorsan, 2'nin ya da 22'nin nereye gittiğini biliyorsun demektir. 0 zaten birim elemana gitmek zorunda. Negatif sayıların da nereye gideceğini buradan bulabilirsin. 

Sonuç: 

1) Tam sayılardan bir homomorfizmayı belirleyen 1'in gittiği yerdir. 1'in nereye gittiğini biliyorsan bütün morfizmayı biliyorsun demektir.

2) $f:\mathbb{Z} \to G$ bir homomorfizma olsun. 1'in nereye gideceğine dair bir kısıtlama yok. İstediğimiz elemanı seçebiliriz $f(1)$ olarak. Dolayısıyla tam sayılardan $G$'ye bir morfizma yazmak demek, aslında sadece $G$'den bir eleman seçmek demek pratikte. 

3) Herhangi bir devirli grup al. Bu devirli grubun bir üretecini al. 1'i bu üretece götüren fonksiyon aradığın fonksiyon. Zaten yukarıda hem sen, hem Handan söylemişsiniz. Ben tekrar edeyim.

4) Yukarıda Z_n, Z'nin alt kümesi demişsin ama bu yanlış.