$0\leq n\leq 500$ olmak üzere $A=\{1,\cdots,500\}$ kümesinden rastgele seçilen bir $m$ sayısı için, $m$ sayısının $n$ sayısını bölme olasılığı $1/100$ olacak şekilde en büyük $n$ ($m,n\in\mathbb{Z}$) kaçtır?

Question

Merhabalar, 

Soru:

$0\leq n \leq 500$ olmak üzere, $A=\{1,2,3,\cdots,500\}$ kümesinden rastgele seçilen bir $m$ sayısı için, $m$ sayısının $n$ sayısını bölme olasılığı $1/100$ olacak şekilde en büyük $n$ sayısı kaçtır? (Sorumu kaynaktan olduğu gibi aktardım)

Çözümüm:(!?)

Burada bahsi geçen olasılığımız $P(A)$ olsun $P(A)=\dfrac{s(A)}{s(E)}$ olacağı için $\dfrac{1}{100}=\dfrac{s(A)}{500}\implies s(A)=5$ olur. O halde $n$ sayısının $5$ tane pozitif böleni olmalı eğer tam bölen sayısı tek ve asal ise bu $n$ sayısı tamkaredir ve $n=p^4$ şeklindedir diye düşündüm.($p$ asal) Ancak buradan sonrası için bu koşulu sağlayan en büyük $n$ dendiği zaman bu aralıktaki en büyük asal sayının $4.$ kuvvetini seçmek istedim ama elimdeki kaynak cevabın $3^4=81$ olduğunu söylüyor. 

$n$'nin neden $3^4$ olması gerektiğini anlayamadım.

Comments

Hahahahha, zaten $4^4$ asal sayının kuvveti değil ve $5^4=625>500$ oluyor. Yani cevap $3^4$. Bunu nasıl görememişim:(

---

güzel soru fakat n= $p^4$ olayını anlayamadım

---

Aslında burada $s(A)$ $n$ sayısının bölen sayisini temsil ediyor yani $p(n)$'yi (parçalanış olmayan) bir sayınin pozitif tam bolenlerini $p(n)=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_{m}}$ olarak açıyoruz, sayısını da $(\alpha_{1}+1)(\alpha_{2}+1)\cdots$ olarak hesapliyoruz ( $p$'ler asal) eğer bu bölen sayısı $5$ ise yani asal, tek bir asal bolenden gelmeli diye düşündüm çünkü iki sayının çarpımı olarak yazılamaz $1$ ve kendisi dışında, o yüzden $n=p^{\alpha}$ ve formülden $\alpha+1=5$ $\alpha=4$ olmalıdır. Olimpiyat sorularında kullanmayı çok sevdikleri bir laf da var pozitif bölen sayısı tek olan diyorlar, tamkare olduğu anlamına geliyor her çift üssün bir fazlasi tek carpimlari da tek çünkü, us asal olunca da tek asal böleni var (genel olarak)  (biraz saçma açıkladım ama olsundu)