Sıfırdan farklı bir tamsayı, sonsuz bir çarpım olarak yazılabilir mi?

Question

Sıfırın dışında bir tamsayı, sonsuz bir çarpım olarak yazılabilir mi? Yani $\prod_{i}a_{i}$ $=x$ ise $a_i$ sıfırdan farklı birer tamsayı iken $x$ de tamsayı olabilir mi? Cevabın hayır, olduğunu seziyorum, ama $a_i$ $=1$ iken çarpım sonucunun $1$ olması gerektiğini düşünüyorum, zira kısmî çarpımlar hep $1$, ama $\infty$.$1$, $\infty$'a yakınsar demek istiyorum bir yandan da. İşin içinden çıkamadım.

(Buradaki indeks kümesi sayılabilir bir küme).

Sonsuz çarpımlarla ilgili teorem, bu çarpımın limitinin olmasının ancak ve ancak $\sum_{i}ln(a_{i})$ toplamının yakınsak olduğunda mümkün olduğunu söylüyor. (bkz.Wolfram) Bu sefer de "Sonsuz tane $0$'ı toplarsak ne olur?"a dönüştü soru. O zaman, $a_i=1$  iken "belirsiz" midir cevap?

Answer 1

Sonsuz tane 1 in çarpımını $1^\infty$ ya daha çok benziyor.

Limitlerde bu bir belirsizliktir, yani limiti bu ifadelere bağlıdır. Ama burada durum çok basit çünki taban sabit 1.

Daha genel olarak (basitçe) sayılabilir sonsuz çarpımı (serilerde olduğu gibi) sonlu çarpımların limiti olarak tanımlayabiliriz.

(Resmi tanım biraz farklı yapılıyor)

O zaman da sayılabilir çoklukta 1 in çarpımı, sonlu çarpımlar daima 1 olduğu için limiti de 1 olur.

Bunun dışında her gerçel (hatta karmaşık) sayıyı bir sonsuz çarpım olarak yazabiliriz.

En kolayı

$z=z\cdot1\cdot1\cdots$ olarak düşünmek olur. (baştan başlayınca) tüm sonlu çarpımlar  $z$ olduğundan, sonsuz çarpım (yukarıdaki basit tanımdan) $z$ olur.

Comments

Çok teşekkür ederim Hocam. Şimdi de indeks kümem sayılamaz sonsuzlukta olursa ne olurdu sorusunu düşüneyim.

---

@bildiginessek Henüz yeterince düşünmedim. Araştırmadım da.

---

@bildiginessek 

Sayılamaz çoklukta sayıların toplamı ile ilgili olarak aşağıdaki kitabın 23. bölümüne bakabilirsiniz.

https://matematikkoyu.org/docs/analiz_1.pdf