Question

$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$ 0<x<1 \Rightarrow x\notin\mathbb{N}$$

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$x\in \mathbb{N}$ olduğunu varsayalım ve $\mathbb{N}\setminus\{x\}$ kümesini göz önüne alalım. $y\in\mathbb{N}\setminus\{x\}$ olsun.

 
$0<x<1\Rightarrow x\neq 0\Rightarrow 0\in\mathbb{N}\setminus \{x\}\ldots (1)$
 

$$\left.\begin{array}{rr} y\in\mathbb{N}\setminus\{x\}\Rightarrow y\in\mathbb{N}\Rightarrow 0\leq y\Rightarrow 1\leq y+1 \\ \\ 0<x<1\end{array}\right\}\Rightarrow x\neq y+1\in\mathbb{N}$$
$$\Rightarrow y+1\in\mathbb{N}\setminus\{x\}\ldots (2)$$
olur. Yani $$(1),(2)\Rightarrow \mathbb{N}\setminus\{x\}, \text{ tümevarımsal küme}$$ Bu ise doğal sayılar kümesinin en küçük tümevarımsal küme olması ile çelişir. O halde varsayımımız yanlış. Yani $x\in \mathbb{N}$ olamaz. Yani $0$ ile $1$ doğal sayıların arasında bir doğal sayı yoktur.