Çarpım uzayı üzerindeki denk metrikler

Question

Her $i\in\mathbb{N}$ için, $(X_{i},\rho_{i})$ ayrık metrik uzaylar dizisi olsun. Çarpım Uzayı $\prod_{i\in\mathbb{N}} X_{i}$ üzerindeki

$d(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\rho_{i}(x_{i},y_{i})}{2^{i}}$

$d^*(x,y)=\frac{1}{n+1},\ (n=\min\{i:x(i)\neq y(i)\})$

metriklerinin denk olduğunu gösteriniz.

Eğer her $X_{i}=\mathbb{N}$ alınırsa biraz daha kolay gibi fakat herhangi bir $X_{i}$ için nasıl başlamalıyım? Eğer yardımcı olabilirseniz sevinirim, günlerdir uğraşıyorum fakat ilerleyemedim. Teşekkürler

Comments

Bir uzayda iki metriğin denk olduğu nasıl gösterilir K.cat? (Denk olmanın tanım nedir?)

EK: $\rho_i$ nin ayrık metrik olduğunu kullandın mı?

---

Eğer bu iki metrikler aynı topolojiyi üretiyorsa denktir, burada iki metriğin de yuvarlarının Çarpımda açık olduğunu gösterirsek olur sanıyorum, fakat ikinci metrik kuralı ve diğer metrik arasındaki ilişkiyi kuramadım, ikisi de çarpım uzayında açık mı olmalı? 

---

Bunun eşdeğer (ve daha kısa9 yolu,

her bir metriğin her açık yuvarı içinde, diğer metriğin aynı merkezli, açık yuvarının varlığını göstermektir.

---

Tek tarafını gösterebilir misiniz eğer rica etsem? En azından bir tarafından diğerine geçiş yapabilirim, günlerce uğraştığım için bir şeyleri kaçırıyorum maalesef

---

Sitede denk metrikler ile ilgili sorular var. Onları inceleyebilirsiniz. Bir de bu linkteki bilgi size yardımcı olacaktır.

---

Çok teşekkür ederim, bakıp inceleyeceğim