Question

$y=x^2$ parabolünü kaç derece döndürürsek bir fonksiyon olmaktan çıkar?

$xy$-ekseni sabit, orijin etrafında döndürüyoruz, $y=f(x)$ gibi bir fonksiyon olmaktan çıkacak manasında.
(Bunları kolaylaştırmak adına veriyorum, parabolü ve döndürme noktalarını değiştirebiliriz.)

___________________

Bu sorunun hikayesini şöyle anlatayım:

Geçenki ÖSYM sınavında ızgaralı bir türev sorusu var.
Orada ızgaraların eksenlere paralel olacak şekilde verilip verilmediği belli değil ama tahmin edilesi.

$f^\prime$  bi doğru ve $f$ değil. Yani $f$ bir parabol olmalı.
$f$'nin bir fonksiyon olması için ızgaralar nasıl olmalı? sorusu.

Comments

Benim hiç geometrik hissiyatım yok ya. Deminden beri kafamı yana eğip görmeye çalışıyorum evde kendi kendime. Gören olacak. (Orijin etrafında mı döndürüyoruz? Farkeder mi?)

---

kac derece cevirirsem cevireyim fonksiyon olmaktan cikmayacak mi? bir $x$ degeri icin iki tane $y$ degeri olacak sanki ne kadar az cevirsem bile.

Parabolu $\theta$ kadar ceviriyorsam, parabolde $(1,1)$ noktasindan gecen ve $y$ ekseni ile $-\theta$ acisi yapan dogruya bakalim, bu dogru bence parabolu bir yerde daha kesecek. Dondurme sonrasinda bu dogru y eksenine paralel olacak, vede bu durum bize elimize gecen seklin fonksyon olarak ifade edilemeyecegini gostermez mi?

 

Yada parabolu cevirmek yerine $y$ eksenini cevireyim. Dondurulmus $y$ ekseninin parabolu birden fazla kestigini gormek zor degil

---

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin\theta  &\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x^2 \end{pmatrix}$
parabolu $\theta$ kadar cevirmek buna denk gelmeli. sag taraftaki vektorun 2. girdisini 1. girdisi cinsinden ifade edebilecegimiz dereceleri soruyoruz demi ?

---

soyle grafigi var isterseniz

---

Sanirim Parabol yerine baska herhangi bir konveks fonksiyon secebiliriz cevap ayni olacak,grafigi sadece 180 derece dondurmek yeni bir fonksiyon verecek.

Answer 1

$180^\circ$ ve tam katları hariç kaç derece döndürülürse döndürülsün fonksiyon olmaktan çıkacaktır, bunu gösterelim.

Bir grafiğe bakarak grafiği çizilen eğrinin fonksiyon olup olmadığını $x$ eksenine dik çizgiler çizerek kontrol edebiliriz. Eğer herhangi bir dikme için bu dikme, eğriyi $2$ veya daha fazla yerde kesiyorsa o halde bu eğri fonksiyon değildir. $y=x^2$ fonksiyonunu $\theta$ derece döndürünce fonksiyon olup olmadığını kontrol etmek için eğriyi döndürmeye gerek yoktur. Çizdiğimiz dikmeleri eğmemiz yeterlidir. Bir dikmeyi saat yönünde $\alpha$ derece eğmemiz demek, eğiminin $\tan{(90^\circ-\alpha)}$ olması demektir (Saat yönünün tersinde döndürmeyi incelemeye gerek yok çünkü $\alpha$'yı yeterince büyültürsek aynı sonuca varırız). Eğer bu döndürme sonucunda fonksiyon elde edersek, orijinden geçen ve "eğdiğimiz" dikme, fonksiyonu sadece orijinde kesecektir.

Orijinden geçen ve $\alpha$ derece eğrilmiş doğrunun denklemi $y=x\tan{(90-\alpha)}$ olacaktır. Bu doğrunun parabolu kestiği noktalar $y=x^2=x\tan{(90-\alpha)}$ denklemini sağlar. Buradan $(x,y)=(0,0)$ ve $(x,y)=(\tan{(90-\alpha)}, \tan^2{(90-\alpha)})$ olacaktır. Tek noktada kesişmeleri için $\tan{(90-\alpha)}=0$ olmalıdır veya $\tan{(90-\alpha)}$ tanımlı olmamalıdır. Buradan da $n\in \mathbb{N}$ için $\alpha=\frac{\pi n}{2}$ elde edilir. Bu da fonksiyonu $180^\circ$ veya tam katlarında dereceyle çevirmek demektir. Gerçekten de $180^\circ$ için fonksiyon $y=-x^2$ olur.

Comments

Buradan aslında güzel olduğunu düşündüğüm bir soru elde edebiliriz.

"$xy$ koordinat düzlemindeki her birimkareyi siyah veya beyaz renge boyayalım. Ekseninlere paralel çizilen doğruların sonlu sayıda beyaz fakat sonsuz sayıda siyah kareden geçtiği, paralel olmayan bir doğrunun da sonsuz sayıda beyaz fakat sonlu sayıda siyah kareden geçtiği bir boyama mümkün müdür?"

---

Ben de sorunun hikayesini buraya yazacaktım ama soru içeriğine yazıyorum.