Her Banach Uzayının Bir Schauder Tabanı Vardır…?

Question

Her Banach Uzayının bir Schauder Tabanı var mıdır? İspatı. Schauder Tabanı sadece ayrılabilirlik midir?

Comments

Sen bu soruda neler düşündün/denedin @Sulesafa?

---

Bir de bu Schauder bazını tanımlayabilir misin? Hamel bazıyla karşılaşmıştım ama bu tabanı ilk kez duyuyorum.

---

Hamel ile Schauderin farki kafamda Fourier Serisi ile Fourier Transformasyonu arasindaki fark diye kalmis

 

yanlis kalmis 

Hamel : her eleman bazin SONLU lineer kombinasyonu seklinde yazilabilir

Schauder : her eleman bazin lineer kombinasyonlari ile yazilabilir. (sonlu gereksinimi yok)

 

---

"Schauder Tabanı sadece ayrılabilirlik midir?" i anlamadım.

"Sadece ayrılabilir Banach uzaylarının Schauder Tabanı vardır?" mı kast ediliyor?

(Benim tahminim iddia, bu şekli ile doğru)

---

<p>Evet, her Banach alanında bir Schauder Tabanı vardır<em>.</em> Bir Schauder tabanı, iyi tanımlanmış bir yapıya sahip bir Banach alanı için belirli bir temeldir. Banach alanındaki herhangi bir öğeyi temsil etmek için kullanılabilecek sonlu eleman dizilerinden oluşur.</p>

<p>Sadece ayrılmış Banach alanlarının bir Schauder tabanı olduğu doğrudur. Schauder temel teoremi, sadece bir Schauder temeli kabul ederse bir Banach alanının ayrıldığını belirtir.</p>

---

Bu sanki bir makine tercümesi gibi geldi bana, anlaşılmıyor ve bana tam doğru görünmüyor.

Standart olarak, "alanı" yerine "uzayı" kullanıyoruz.

"Banach alanındaki herhangi bir öğeyi temsil etmek için kullanılabilecek sonlu eleman dizilerinden oluşur." cümlesindeki "sonlu eleman dizi" ile bazdaki (tabandaki) elemanların sonlu lineer kombinasyonu kastediliyor ise bunun doğru olduğunu sanmıyorum.

Yorumlarda belirtildiği gibi, sonlu toplam olarak yazılabilmesi Hamel bazının varlığı demektir.

O da, seçme aksiyomu kabul edildiğinde,  uzay ayrılabilir olmasa bile vardır.

---

Büyük ihtimalle google translate kullanılmış ve tercüme üzerinde düzeltme/iyileştirme yapılmamış. İsmail Havle gönderin bir alıntı ise varsa orijinalini koyabilirsen daha iyi anlaşılır sanırım.

---

Benim tahminim: birisi ChatGPT'yi deniyor. Mathoverflow'da yapmış biri: Twitter linki. Şurada üç beş kişiyiz zaten, ne test etmek istiyor bunu yapan anlamadım :)

---

Geçenlerde ben de test ettim ChatGPT'yi. Ama matematik konusunda pek de tatmin edici gelmedi bana. Bu da bunun bir kanıtı belki de.

Answer 1

Her ayrılabilir (separable) Banach uzayının Schauder bazı yoktur. İlk örneği Enflo 1973 yılında vermiş: $c_0$ dizi uzayının kapalı bir altuzayı "approximation property (AP)"e sahip değildir. Her Schauder bazına sahip Banach uzayı ise AP'e sahiptir.