Question

Cauchy dizisi tanımından hareketle $\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}\right)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olmadığını gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her $\epsilon>0$ için,
$$|x_n-x_m|<\epsilon$$ eşitsizliğinin her $n,m\ge N$ için sağlandığı bir $N$ göstergeçi varsa, $(x_n)_n$ dizisine Cauchy dizisi denir.

 

Tanımdan anlaşılacağı gibi Cauchy dizisinin terimlerini birbirine istediğimiz kadar yakın yapabilmeliyiz. Ancak Cauchy dizisi olmak için bu yeterli bir koşul değil. Buna örnek olarak soruda geçen harmonik seri verilebilir.

Tanımın sağlanmadığını gösterelim:

$n\gt m$  ve  $n=m+k$ olsun.

$H_n=x_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}$

$H_m=x_m=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{m}$ dersek

$$\begin{array}{rcl} |x_n-x_m| & = & \frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{m+k} \\ \\ & \ge & \frac{1}{m+k}+...+\frac{1}{m+k} \\ \\ & = & \frac{k}{m+k}\end{array}$$

olduğundan $\epsilon =\frac{1}{2}$ olmak üzere her $N$ doğal sayısı için  $n:=2N\ge N$ ve $m:=N\ge N$ alınırsa $$|x_{n}-x_m|\ge \frac{k}{m+k}=\frac{n-m}{m+(n-m)}=\frac{n-m}{n}=\frac{2N-N}{2N}=\frac12=\epsilon$$ koşulu sağlanır. Yani

$$(\exists \epsilon>0)(\forall N\in\mathbb{N})(\exists n,m\ge N)\left(|x_n-x_m|\ge \frac12\right)$$ önermesi doğru olur. Bu da verilen (harmonik) dizinin bir Cauchy dizisi olmadığı anlamına gelir.

 

 

Comments

Harmonik dizide ardışık terimlerin farkının sıfıra yaklaşmasına rağmen dizinin Cauchy olmadığını gördük. Başka bir örnek olarak $a_n=\sqrt{n}$ dizisi de verilebilir. Böyle dizilere Quasi-Cauchy dizileri deniyormuş. Ayrı bir başlıkta ele alınabilir.

---

Hımm ilginç. Ben de bilmiyordum.

---

Şöyle bir makale var:

D.Burton, and J. Coleman, Quasi-Cauchy Sequences, Amer. Math. Monthly, 117, 4, 2010,

Ancak bu dizileri  Hüseyin Çakallı

[4 ]Forward continuity, Journal of Computational Analysis and Applications, to appear. ve
[5] Forward compactness, Conference on Summability and Applica-
tions, Shawnee State University, November 6, 2009 November 8, 2009.
http://webpages.math.luc.edu/ mgb/ShawneeConference/Articles/HuseyinCakalliOhio.pdf

makalesinde başka bir isim vererek çalışmış.

Çakallı'nın ON QUASI-CAUCHY SEQUENCES
 adlı makalesinde bu diziler

"...These sequences are named as quasi-Cauchy by Burton and Coleman [1] without
having seen the original works [4] or [5] of Cakalli, H. in which those sequences were
called as forward convergent to zero. As it seems more suitable, we also call them
quasi-Cauchy. A sequence $(x_n)$ is called quasi-Cauchy if $lim\Delta x_n = 0$ where $\Delta x_n$
is either backward or forward difference operator, i.e. , either $\Delta x_n = x_{n+1}- x_n$ or
$\Delta x_n = x_n- x_{n+1}$....."

şeklinde tanımlanıyor.