Her $x\in\mathbb{R}$ için, $f^{(n)}(x)=0$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{N}$ var olan, ama polinom OLMAYAN bir $f\in C^{1000}(\mathbb{R})$ bulunuz.

Question

$n,\ x$ e bağlı olabilir. $f^{(n)}: f$ nin $n$- inci türevi.

$C^{1000}(\mathbb{R})=\{f|f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f^{(1000)}\ \textrm{ tüm }\mathbb{R}\textrm{ de sürekli}\}$
(Kolay!)

Comments

sizce 0 bir polinom mu peki? değilse işimiz kolay

---

cevabı gizliyorum, galiba başkalarının denemeleri de olsa iyi olur:

Eğer hata yapmadıysam $f(x)=\begin{cases}x^{1001}\quad,x\ge 0\\ -x^{1001}\quad , x<0\end{cases}$ iş görür $1000$ kere türevi var, $0$'da 2 yonlu turevleri hep $0$ ve polinom da degil. Ve her $x$ için de direkt $1002.$ türevi alırsak $0$

---

lokal olarak polınom olmayan bir sonucu var mıydı acaba bu ilginç olurdu

---

Evet, ilginç ama büyük olasılıkla (varsa) çok daha zor bulunurdu.
Ben, bu soruyu, MathOverflow daki (İngilizce)
"$f\in C^\infty(\mathbb{R})$ ve her $x\in\mathbb{R}$ için, $f^{(n)}(x)=0$ olacak şekilde ($x$ e bağlı olabilir) bir $n\in\mathbb{N}$ varsa, $f$ bir polinom olmak zorunda mıdır?" sorusunun cevabı içinde (ispatla da biraz ilgili olarak) sorulduğunu gördüm, o nedenle sordum.

---

$f(x)=0$ polinom degil mi ya ? neden degil? soruldugundan beri bu soru rahatsiz ediyor beni cevap luitfen $0$ olmasin

---

$0$ (sabit) fonksiyonu elbette bir polinom.

Soruda polinom OLMAYAN böyle bir fonksiyon bulunması isteniyor.

---

iki tane polinomu birbirine yapistirsam ?

$f_{\leq0}(x) = x^2$
$f_{>0}(x) = -x^2$

gibi ?

---

evet ama bu fonksıyon $C^2 $ degil

---

@eloi çok yaklaştın.