Ben $\left( 1 + \dfrac1n \right)^n $ disizinin üstten sınırlı ve artan olduğunu gösterip, bundan dolayı bir limiti vardır, biçiminde bir yaklaşım kullanıyorum. P.P. Korowkin'in Eşitsizlikler isimli kitabında bu şekilde öğrendim. Önce $ 2\leq \left( 1 + \dfrac1n \right)^n \leq 4$ gibi bir eşitsizlik ispatlanıyor. Sonra bu limit değerini de bir harfle gösteriyoruz ve buna $e$ diyoruz. Yani $$\lim_{n\to \infty}\left( 1 + \dfrac1n \right)^n =e $$ olarak tanımlanıyor.
Sorudan anlaşıldığı kadarıyla, bunu bir teorem olarak değerlendiriyorsunuz. O halde $e$ nin tanımını da vermelisiniz. $e$ yi nasıl tanımlıyorsunuz? Doğal logaritmanın tabanına $e$ diyoruz demek bir tanımlama değildir. O zaman da neye doğal logaritma diyorsunuz, onu nasıl tanımlıyorsunuz sorusu gelecek. Matematikte bu tür yaklaşımlar çokça var, bir ifade tanım olarak alınırsa bir başka ifade teorem oluyor ya da tam tersi. Ama mihenk taşımızı belirlemek şartıyla.
Tanımlamalar, kabuller, aksiyomlar matematikte önemlidir. Bunlar çıkış noktamızı belirler. Örneğin, geometride Pisagor Teoremi'ni ispatlayınız dediğimizde ''Kosinüs teoreminde $a^2=b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha $ ve $\alpha = 90^\circ $ özel durumunda $a^2 = b^2 + c^2$ elde edilir'' demek bir ispat değildir. Çıkış noktası yanlıştır. Zira, kosinüs teoremi de, Pisagor teoreminden ispatlanıyor. Hatta, aksiyomları bile ispatlayanı gördüm, teoremleri kullanarak aksiyomları güzelce elde ediyor! Peki o teorem neden var diye düşünülünce, zaten aksiyomlardan elde edilmiş olduğu görülüyor. Bu da aksiyomu ispatlamak için o aksiyomu doğru kabul ederek işe başlamak gibi bir mantıksızlığa götürüyor. Eski Yunanca'da bu durumu ifade eden bir kelime varmış, hatırlayamadım. Aşağı yukarı ''Ne yaptığını bilmemek'' gibi anlama geliyordu.
Ne yaptığımızın farkında olmalıyız. Bu bakımdan, öncelikle $e$ nin tanımını vermek gerekiyor.