Lipschitz Denk Metrikler

Question

$$d_1(x,y):=\Big{|}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Big{|}$$

kuralı ile verilen $$d_1:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$

metriği ile

$$d_2(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$

kuralı ile verilen

$$d_2:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$ metriğinin Lipschitz denk olmadığını gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(X,d_1)$ ve $(X,d_2)$ metrik uzaylar olsun.

$d_1\overset{L}{\sim}d_2:\Leftrightarrow (\exists k\geq 1)(\forall x,y\in X)\left(\frac{1}{k}\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq k\cdot d_1(x,y)\right)$

$d_1\overset{L}{\nsim}d_2:\Leftrightarrow (\forall k\geq 1)(\exists x,y\in X)\left(\frac{1}{k}\cdot d_1(x,y)> d_2(x,y) \vee d_2(x,y) > k\cdot d_1(x,y)\right)$

 

 Her $k\geq 1$ için $x:=1+\lceil\ k\rceil\in \mathbb{N}$ ve $y:=\lceil\ k\rceil\in \mathbb{N}$ seçilirse 

$d_2(x,y)=1>\frac{1}{(k+1)}= k\cdot \left|\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\right|\geq\ k\cdot\left|\frac{1}{1+\lceil\ k\rceil}-\frac{1}{\lceil\ k\rceil}\right|= k\cdot d_1(x,y)$

koşulu sağlanır. O halde,

 $(\forall k\geq 1)(\exists x,y\in X)\left(\frac{1}{k}\cdot d_1(x,y)> d_2(x,y) \vee d_2(x,y) > k\cdot d_1(x,y)\right)$

önermesi doğru yani $d_1$ metriği ile $d_2$ metriği Lipschitz denk değildir.