Logaritma Fonksiyonu Hakkında..

Question

Biliyoruz ki $ln(x)$   in anlamlı olması için $x$$\in$$R^+$  olması gerekli. (en azından bunca zaman böyle öğretildi)

Benim sorum şu : $x$ sayısı kompleks sayı olduğunda $ln(x)$ in anlamlı olması için ne olmalı? Ya da kompleks sayıların logaritması olur mu? 

Comments

Cok guzel bir soru, umarim cevaplanir. Ben, cevabi biliyorum ama nasil guzel bir sekilde anlatacagimi bulamadim. Denedim ama bulamadim. Ama "oo logaritma, alirim bir dal" esprisini yapmak istiyorum. Biri kisa surede cevap yazar da, espri havada kalmaz umarim. Belki esprinin sahibi gelir, cevap yazar.

---

http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Complex_logarithm

---

Turkce bi kaynak var mi acaba. Yada hocalarimizdan birisi kisaca da olsa bilgilendirse?

---

http://tr.wikipedia.org/wiki/Logaritma#Negatif_ve_imajiner_logaritma

---

Teşekkürler..

Answer 1

biraz sacma  olacak ve duz mantik dusunuyorum  ama  ln(x)=y  desek x=e^y simdi kompleks sayilar kumesinin pozitif olan kismini alabilir bence.

 e sonucta pozitif bi sayi :P

Answer 2

Şöyle başlıyim öyleyse izninizle söze:

Kompleks analiz ile ilgili sorduğunuz herhangi bir çok elementer soru bile öyle bir dallanır budaklanır ki hangi daldan tutacağınızı şaşırırsınız cevaplarken.

Şimdi, ilk olarak,  Euler formülü $e^{ix}=\cos x+i\sin x,\quad x\in\mathbb R$ den dolayı komplexde tanımladığınız $f(z)=e^z$ fonksiyonu periyodiktir (Kompleks sayılarda tanımlı fonksiyonlar periyodik de ne demekse!:)). Dolayısıyla bu fonksiyon 1-1 değildir. Yani $f:\mathbb C\rightarrow \mathbb C,\ f(z)=e^z$, bildiğimiz anlamda, tersinir değildir. Böyle fonksiyonların terslerine "çok değerli fonksiyon" denir. Yani $log z$ dediğimiz fonksiyon bir çok değerli fonksiyondur ve

$$log z=ln |z|+i arg(z)$$

 olarak tanımlanır. Bunun bir dalı ise

$$Log z=ln |z|+i Arg(z),\quad z\in \mathbb C-(-\infty, 0]$$

şeklinde tanımlanır. Buna logaritmanın esas (principal ın çevirisi için yardım lütfen) dalı  denir.

Burada $arg (z)$, $2\pi$ periyotlu iken $Arg(z)$ tek değerlidir ve değerlerini $(-\pi,\pi )$ arasında alır. Örneğin, $arg (1)=0+2n\pi$ iken $Arg(1)=0$'dır.

(Çok değerli fonksiyonların dalı nasıl tanımlanır, logaritmanın tam (İng Entire) bir dalı var mıdır soruları ayrı birer sorulardır.)